Iniziamo con il rudimento più elementare, il contare una certa "quantità" di oggetti che ai nostri occhi saranno indistinguibili. Prendiamo pere, mele, carote, cuscini, ventilatori, foglie, ciabatte e immaginiamoceli tutti come delle palline arancioni. Per conteggio elementare ci riferireremo all'inserire tali palline in una scatola, o più comodamente raggruppate in un cerchio da noi disegnato. (la posizione di queste è irrilevante, sono ammucchiate)

Si definisce un'operazione che prese due quantità si ottiene (risulta in) un'altra quantità spostando le palline dalle rispettive scatole in un'altra scatola (più grande se necessario).
Raffiguriamo con due esempi le principali proprietà di tale operazione, vedremo successivamente cosa si intende per operazione per adesso è sufficiente sapere che prende due robe (quantità) e restituisce una "stessa" roba (quantità).

• Commutatività permette di scambiare le due quantità a cui vogliamo applicare l'operazione risultanto sempre e comunque nella stessa quantità. Questa è una "simmetria" algebrica presente in tale operazione. (Possiamo spostare le palline dalla scatola A alla scatola B e tenerci la scatola B oppure dalla scatola B alla scatola A e tenerci la scatola A)
• Associatività rende irrilevanete l'ordine in cui si applicano le operazioni tra le quantità, in particolare è possibile definire l'operazione tra più quantità applicando iterativamente l'operazione a coppie arbitrarie di quantità senza che il risultato cambi.

Immagino che il lettore conosca i numeri essendo insegnati a partire dai      anni. Eppure a meno che non vi sia una certa intimità con essi consiglio in un primo momento di dimenticarsi della loro esistenza e vedere come passo passo si costruiscono. La formulazione appena riportata per indicare una quantità è estremamente scomoda, a maggior ragione quando la nostra mente fa cilecca sul ricordarsi se era presente una pallina in più o in meno. Da notare che in passato le persone ignoranti (nel senso di ignorare), ad esempio un semplice contadino, per contare le proprie pecore doveva prendere effettivamente dei sassolini in quantità pari alla quantità delle pecore. Così il pecoraro dopo ogni spostamento per non avere perdite le ricontava a coppie con i sassolini. Effettivamente poco efficiente e pratico, ad esempio nel guardare i sassolini le pecore potrebbero muoversi ed essere contate due volte per errore.

Una rivoluzione nella rappresentazione di una quantità proviene proprio dal raggruppamento e dall'impilamento, diciamo che prese certe quantità (distinte e successive) a cui associamo dei simboli: $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ vi saranno sempre altre quantità (essendo tantissime, ad esempio la quantità delle stelle nella nostra galassia) che non possiamo indicare con i simboli appena proposti. La "minima" (la più elementare) quantità non rappresentabile proviene dall'operazione tra 1 e 9, che indicheremo con 10.

È "facile" notare che una qualsiasi quantità non rappresentabile possa essere scritta come tante operazioni tra quantità di 10 in operazione con una qualche altra quantità inferiore (e quindi rappresentabile): $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Tutte queste quantità di 10 essendo "oggetti" o robe possono anch'esse essere pensate come palline arancioni, quindi ogni quantità è operazione di una quantità di 10 con una quantità rappresentabile. Adesso serve iniziare a distinguere un pochino gli oggetti, come per i 10.

Serve adesso introdurre una notazione per distinguere le quantità di cosa; altrimenti l'argomento diventa confusionario. Piuttosto che scrivere quantità scriveremo soltanto Q e l'operazione viene indicata con il simbolo $+$, scriviamo $Q(10)$ per indicare una quantità di 10 e con Q(1) la quantità di palline arancioni che non si sono riuscite a ragruppare in quantità di 10 allora

\( Q=Q(10)+Q(1) \)

Anche tale $Q(10)$ è una quantità ("inferiore" a $Q$) perciò deve ammettere una scrittura simile: vi sono $Q(10)+Q(1)$ quantità di 10 che scriveremo $(Q(10)+Q(1))(0)$ o meglio abusando un po' di notazione aggiungendo uno zero $0$ a destra $Q(100)+Q(10)$ dove abbiamo denotato $Q(100)=Q(10)(0),\ Q(10)=Q(1)(0)$ così da ottenere

In tal caso Q(10) essendo un Q(1) (rappresentabile) con l'aggiunta di uno zero $0$ a destra è rappresentabile ed assume la forma $00,10,20,30,40,50,60,70,80,90$. Nel caso in cui Q(100) sia rappresentabile per un ragionamento simile si scrive come un rappresentabile seguito a destra da $00$ ottenendo

\( Q=Q(100)00+Q(10)0+Q(1) \)

Notiamo che raggruppando le palline la quantità dei raggruppamenti (per raggruppamenti di quantità almeno 2) è minore della quantità di partenza, in particolare continuando tale processo $Q(1),Q(10),Q(100),Q(1000)$ e così via si raggiunge una quantà $Q(10...)$ rappresentabile per cui $Q$ è somma, $+$, di rappresentabili seguiti da opportuni $0$ a destra.

Definiamo la notazione più concisa Q(10)0+Q(1)=Q(10)Q(1) e così via, si sostituisce la sequenza di zeri a destra $0000$ con la relativa quantità di $10000$ seguita da $000$ (uno zero in meno) ad esempio

\( Q(1000)000+Q(100)00+Q(10)0+Q(1)=Q(1000)Q(100)Q(10)Q(1) \)

Proporre la somma $+$ tra palline arancioni e raggruppamenti di palline arancioni comporta come risultato una certa quantità di palline arancioni. Per allargare i nostri orizzonti si iniziano a distinguere maggiormente gli oggetti. Piuttosto che essere dei pecorari diventiamo dei fattori per cui sono da considerare più quantità distinte

dove M indica mucca, P percora e G gallina, notiamo che queste quantità sono irriducibili non possiamo sommare una quantità di due animali per ottenere la quantità di un animale mantenendo il conteggio dei singoli animali (riusciamo ancora a distinguerli, e non c'è motivo per cui possiamo scambiare mucche con percore ad esempio).

Ai nostri scopi maggiormente astratti introduciamo la variabile $x$ disinteressandoci se essa sia una Pecora o una Mucca o un triangolo o una pallina arancione. Da essa introduciamo anche delle entità un pochino più esotiche come $x^2,x^3$, che per ora rappresentano solo dei simboli senza alcun significato. Oltre la somma $+$ vogliamo introdurre la moltiplicazione $*$ tra quantità, questa prende la prima quantità di palline arancioni e si sostituisce ogni pallina arancione con la seconda quantità di palline arancioni. La dimostrazione o l'intuizione di commutatività è ancora meno banale, comunque l'associatività spero sia ancora chiara. La proprietà più importante di tale operazione è (distributività rispetto $+$)

che ovviamente coincide con $Q*(1+1)=Q*2$, chiamiamo numeri quei oggetti che esprimono in maniera propria una quantità di oggetti indistinguibili e per quanto visto li scriveremo come successione "finita" di quantità rappresentabili. Allora la quantità di palline arancioni è il prodotto del numero di palline arancioni con l'oggetto pallina arancione, o la quantità $1$. Consideriamo la quantità di $x,x^2,x^3$:

\( Q(x^3)x^3+Q(x^2)x^2+Q(x)x \)

a ciò possiamo dare un'interpretazione geometrica pensando a $x$ come un segmento, $x^2$ il quadrato di lato $x$ e $x^3$ il cubo di lato $x$.

Allora un rettangolo $R$ di lati $Q_1(x),Q_2(x)$ ha un numero di quadrati $Q_R(x^2)$ pari al numero dato da $Q_1(x)*Q_2(x)$. Basti pensare che ogni segmento del lato base ($1$) vi sono impilati $Q_2(x)$ quadretti $x^2$ perciò è da sostituirsi ogni segmento del lato base con $Q_2(x)$ quadretti $x^2$ e questi sono $Q_1(x)$

\( Q_R(x^2)x^2=(Q_1(x)*Q_2(x))x^2 \)

Che possiamo pensare come la formula $Q_1(x)x*Q_2(x)x=Q_1(x)*Q_2(x)x^2$, ovvero il prodotto di due segmenti $x$ produce il quadrato elementare $x^2$. Analogamente per un cubo $Q$ di lati $Q_1(x)x,Q_2(x)x,Q_3(x)x$ vi sono $(Q_1(x)*Q_2(x))x^2$ quadretti sulla faccia di lati $1$ e $2$ e su ogni quadretto vi sono $Q_3(x)x^3$ cubetti da cui

\( Q_Q(x^3)x^3=((Q_1(x)*Q_2(x))*Q_3(x))x^3=(Q_1(x)*Q_2(x)*Q_3(x))x^3 \)

dove la proprietà di associatività ci permette di scordarci delle parentesi.

Se adesso volessimo spezzare il segmento $x$ nel segmento $2y$ (vi sono due volte i segmenti $y$ in ogni segmento $x$) allora le quantità dei quadratini $y^2$ di $R$ diviene

\( (Q_1(y)*Q_2(y))x=((Q_1(x)*2)*(Q_2(x)*2))y=(2*2)*(Q_1(x)*Q_2(x))y \)

ed analogamente per il cubo si moltiplica per $2*2*2$ il prodotto di $2$ per tre volte. Allora se volessimo trasformare il segmento $x$ in un numero per lo stesso motivo serve trasformare il quadrato elementare $x^2$ come il prodotto dello stesso numero per se stesso, il quadrato del numero, e il cubetto $x^3$ come il prodotto dello stesso numero per tre volte, il suo cubo.

Sono formule forse pure troppo grandi ma sicuramente più riduttive rispetto a disegnare un'infinità di esempi geometrici, con la frase $Q_1(x)$ e $Q_2(x)$ lati abbiamo racchiuso tutti gli esempi dei rettangoli.

Se prendiamo una lista di rettangoli, tanto ma tanto lunga comunque non sarebbe mai sufficiente per racchiudere tutti gli esempi. Chiunque potrebbe trovare un nuovo rettangolo che ci siamo "scordati" di scrivere anche se eravamo a conoscenza della sua esistenza.

Il termine insieme dovrebbe essere evocativo, un qualcosa dotato della nozione di appartenenza. Chiamiamo adesso un insieme $A$, con nozione di appartenenza intendiamo:

Indichiamo $a\in A$ se $a$ appartiene ad $A$ altrimenti scriveremo $a\notin A$. Diremo che due insiemi sono lo stesso se a tutte le domande di appartenenza rispondono nella stessa maniera, quindi $A=B$ quando $a\in A$ se e solo se $a\in B$ per qualsiasi $a$ che ci venga in mente. $a$ è solo un simbolo per indicare un qualcosa, potrebbe essere un rettangolo o un gatto non ci interessa ciò è solo un modo per riferirci a un elemento.

Col termine funzione pensiamo a due insiemi rispettivamente di partenza e di arrivo e all'associazione di ogni elemento di partenza un unico elemento di arrivo. Introduciamo subito come esempio la funzione rivela identità che manda l'insieme degli eroi mascherati nell'insieme delle persone.

La possibilità di più risultati per uno stesso personaggio genera delle ambiguità, per evitare ciò richiediamo infatti che una funzione associa univocamente ad ogni elemento di partenza un elemento di arrivo. Mi piace pensare che ai matematici non piacciono le ambiguità (altrimenti ci si scontra in dei duelli pericolosi).

Al contrario non è vietato associare a ognuno di questi attori il personaggio spiderman, dunque per una lista di attori in cui ognuno ha interpretato solo un eroe è lecito definire una funzione tra tale insieme e l'insieme degli eroi associando a ogni attore il proprio eroe interpretato.

In questo caso ci sono più attori che vengono associati ad uno stesso eroe creando un problema sull'esistenza della funzione inversa dato che ques'ultima dovrà mandare spiderman in tre personaggi distinti che per quanto detto non è una funzione.

Un esempio più chiaro di funzione che non ammette inversa è data dall'associazione dell'insieme dei pokemon unito all'insieme delle carte di yu-gi-oh che manda ad ogni elemento il mondo Pokemon se vi appartiene altrimenti vi associa il mondo Yu-Gi-Oh.
Associamo ad ogni "mostro" il proprio insieme di appartenenza. In questo caso l'insieme dei pokemon viene mandato in un unico elemento: il mondo Pokemon perciò vi sono tante collissioni; in particolare non esiste un'inversa.

Per indicare una funzione basti allora disegnare una freccia (che possiede una punta), da un insieme di partenza all'altro in modo che la coda di ogni freccia parta da un unico elemento. Ovvero ogni elemento può seguire soltanto una freccia (ha a disposizione solo una freccia) per andare nell'insieme di arrivo, ed ogni elemento nell'insieme di partenza arriva all'insieme di arrivo tramite una freccia.

Se ci sono elementi nell'insieme di arrivo che non vengono raggiunti allora la funzione non è invertibile (non posside inversa) dato che la mappa inversa deve produrre frecce dall'insieme di arrivo nell'insieme di partenza, ma un elemento nell'insieme di arrivo non raggiunto non potrà mai creare un percorso che ritorna a se stesso non essendo questo mai raggiunto.

Ho mentito parecchio parlando di inversa, in realtà avrei dovuto effettuare una distinzione tra inversa destra e inversa sinistra. Ad esempio per la funzione rivela identità si parla di invertibilità perché esiste la funzione calcola eroe che a seconda dell'ordine di composizione si hanno due funzioni identità distinte, una sull'insieme dei personaggi (insieme di partenza e arrivo coincidono) e una sull'insieme degli eroi. Questo dipende dall'ordine di composizione, se si applica prima una funzione oppure l'altra; perciò si parla di inversa sinistra e destra, che negli esempi portati ci sono funzioni con solo inversa destra o inversa sinistra. Una funzione è invertibile quando ammette sia inversa sinistra che inversa destra.

In questo contesto indichiamo con $G$ un insieme, utilizziamo tale simbolo perché iniziale della parola Gruppo. Come accennato un'operazione è un qualcosa che prende due elementi e restituisce un elemento "con lo stesso significato", ad esempio la somma prende due quantità e restituisce la quantità somma. Adesso con le nozioni di funzioni e insiemi possiamo descrivere un'operazione come ad una funzione che prende coppie di elementi in $G$ e le manda in un elemento in $G$. Ad esempio possiamo prendere l'insieme dei numeri dotato dell'operazione somma, oppure l'insieme delle quantità di animali in una fattoria.

Abbiamo anche visto elementi un po' più astrusi come $x,x^2,x^3$ a cui per motivi geometrici si può pensare alle somme di questi elementi come le quantità di segmenti, quadretti, cubetti.

Se denotiamo con $G\times G$ l'insieme delle coppie di elementi in $G$ allora un'operazione su $G$ è una funzione della forma

\( G\times G\to G \)

in teoria dei gruppi se si scrivono certi elementi tramite delle lettere diventa comodo poter scrivere l'operazione tra essi come parole ad esempio $abc$, comunque questo può essere interpretato in due maniere diverse. Possiamo leggere da sinistra verso destra l'applicazione dell'operazione $(ab)c$ valutando prima $ab$ e successivamente il risultato con $c$, oppure qualcuno preferisce leggere da destra verso sinistra e quindi $a(bc)$.

per motivi che vedremo a breve, sinteticamente per rimanere sufficientemente generali da poter lavorare sul cubo di rubik o sull'insieme delle trecce o sulle permutazioni di un insieme finito sarà troppo restrittiva la commutatività. Non è sempre lecito poter scambiare l'ordine su cui si applica l'operazione tra due elementi (la somma è parecchio generosa nel concedercelo), manca in generale questa simmetria algebrica $ab=ba$.

I gruppi sono intimamente collegati a delle "azioni", e quindi anche studiati tramite le stesse azioni che producono. Tali azioni possono presentare motivazioni geometriche come ad esempio le trasformazioni date dallo scambio di certe palline distinte. Altre trasformazioni possono essere quelle sul cubo di rubik date dalla successione di movimenti di rotazione di una qualche faccia, consiglio di verificare che esistano due rotazioni di faccie diverse in modo che l'ordine di applicazione è rilevante sul cubo risultante (comunque sarà visto, don't worry).

Per rimanere generali si richiede soltanto che esista un elemento neutro, associato a un'azione nulla che non faccia nulla. Quindi quest'ultimo in operazione con qualsiasi altro elemento $a$ risulta in $a$. Tale elemento neutro si indica con la lettera $e$, perciò esiste $e\in G$ tale che

\( ea=a=ae \)

per ogni $a\in G$. Facciamo notare che l'ordine in cui si parla o legge è rilevante in matematica, abbiamo appena affermato che esista un elemento che scontrato contro ogni altro elemento non faccia nulla. Un'affermazione diversa (più debole e generale) potrebbe essere per ogni elemento $a\in G$ esiste un elemento $e\in G$ che scontratosi non faccia nulla, in questo caso non è detto che esista un $e\in G$ che valga per ogni elemento.

Solitamente nelle espressioni, o uguaglianze del tipo $roba=altra\ roba$ è utile poter cancellare alcuni elementi nelle operazioni svolte per poter ottenere identità più generali e interessanti. Nella teoria dei gruppi di fatti per ogni elemento $h\in G$ si richiede l'esistenza di un elemento inverso $h^{-1}\in G$ tale che si produca l'identità

\( hh^{-1}=e \)

Qua si nota la differenza con l'affermazione precedente in cui sono scambiate le parole "per ogni" e "esiste", di fatti tale $h^{-1}$ è un simbolo indicante un elemento che ammettiamo esista ma deve essere scelto opportunatamente a $h$. Comunque fino ad ora abbiamo parlato di esistenza e mai di unicità, per ora io e il mio amico potremmo non essere mai sicuri di prendere la stessa identità in considerazione o lo stesso elemento inverso per un certo $h\in G$ fissato.

Una piccola dimostrazione comporta l'unicità dell'elemento identità, e anche l'unicità dell'elemento inverso per un dato $h\in G$. Di fatti per due identità $e_1,e_2$ avremo

dato che sia $e_1$ che $e_2$ sono identità abbiamo usato $e_1a=a=e_2a$ ottenendo (per transitività dell'uguaglianza)

\( e_1=e_2 \)

Ogni identità che prendiamo coincide con $e_1$ perciò ci può essere solo quest'ultima identità dentro $G$. Analogamente per due inversi $h_1^{-1},h_2^{-1}$ di $h$ si ottiene

\( h_1^{-1}h_2^{-1}h=h_1^{-1}=h_1^{-1}hh_2^{-1}=(h_1^{-1}h)h_2^{-1}=h_2^{-1} \)

dove basta usare che $h_1^{-1}h$ e $h_2^{-1}h$ sono l'elemento neutro che non agisce. Per agire, o azione, intendiamo il fatto che ogni $g\in G$ definisce una funzione $g\cdot:G\to G$ sull'insieme stesso. Tale azione manda un elemento $h\in G$ nell'elemento $gh$, questa è suriettiva dato che per un qualsiasi elemento $v\in G$ questo è raggiunto da $g^{-1}v\in G$ infatti

\( g\cdot(g^{-1}v)=gg^{-1}v=v \)

tale azione è anche iniettiva, se $g\cdot h=g\cdot v$ allora $gh=gv$ in particolare coincidono $g^{-1}(gh)=g^{-1}(gv)$ ed applicando l'associatività si ottiene $h=v$. Nel caso in cui una funzione sia iniettiva e suriettiva si inizia a parlare di biezione. Allora il termine azione di un elemento $g\in G$ prende significato come trasformazione sull'insieme $G$ stesso, una biezione da un insieme in se stesso si chiama anche permutazione (non fa altro che scambiare, permutare, gli elementi di tale insieme).

Le azioni di $G$ su un insieme $K$ sono delle funzioni della forma $G\times K\to K$ che soddisfano certe proprietà, con $G\times K$ intediamo le coppie ordinate di elementi il cui primo elemento appartiene a $G$ e il secondo elemento a $K$. Ad esempio all'elemento $e\in G$ si vuole associare l'azione banale $(e,k)\mapsto k$ per ogni $k\in K$, se indichiamo con $\phi$ la mappa dell'azione allora denotiamo $\phi_g:K\to K$ l'azione di $g\in G$ su $K$ definita come la mappa che manda $k$ in $\phi(g,k)$. Visto che vogliamo pensare a $g\in G$ che agisce su $K$ come $g\cdot:K\to K$ con $K=G$ allora per l'azione $\phi:G\times K\to K$ che denotiamo $\phi(g,k)=g.k$ vale una certa associatività

\( h.(g.k)=(hg).k \)

per ogni $h,g$ nel gruppo e $k$ elemento dell'insieme. Da tali proprietà si verifica facilmente che ogni $\phi_g:K\to K$ rappresenti una permutazione dell'insieme stesso $K$ per ogni $g\in G$. Richiediamo allora queste due proprietà per indicare un'azione di $G$ su un certo insieme $K$.

Allora se pensiamo a tutte le configurazioni possibili del cubo di rubik $K$ e al gruppo delle sue trasformazioni $G$ abbiamo chiaramente un'azione $G\times K\to K$.

I tasti indicano delle mosse elementare sul cubo di rubik, potrebbero non funzionare benissimo ma per motivi didattici comunque spero sia chiaro il funzionamento. Comunque sia ogni trasformazione è sequenza (finita) di tali mosse elementari in particolare ogni trasformazione si scrive come parola con lettere nell'alfabeto $\{L,M,R,F,S,B,U,E,D\}$, questa è la notazione $\{\ldots\}$ per descrivere l'insieme contenente solo gli elementi elencati. Vi sono chiaramente delle relazioni, oltre al fatto che ogni mossa elementare ripetuta quattro volte corrisponde alla mossa banale che non fa nulla. Non banale è la relazione (verificatela pure applicando le mosse leggendo da sinistra verso destra, l'ordine di lettura è necessario visto che non abbiamo la commutatività)

\( S=LM^3RDL^3MR^3 \)

dove con $M^3,L^3,R^3$ si intende rispettivamente $MMM,LLL,RRR$. Notiamo che tale notazione è lecita grazie all'associatività, non vi sono ambiguità: $(MM)M=M(MM)$. Le azioni del gruppo su cubo possono essere viste come certe biezioni $K\to K$, in particolare il prodotto delle azioni è la composizione di funzioni che soddisfa l'associatività.

La relazione presentata mostra che il gruppo non è commutativo altrimenti potremmo riscrivere la sequenza come $L^4M^4R^4D$, dove ogni mossa elementare ripetuta quattro volte è banale ottenendo il solo elemento $D$ distinto da $S$. Comunque i tasti su ogni riga rappresentantano rispettivamente l'azione su tre piani distinti perciò l'applicazione commuta, ad esempio per la prima riga valgono

\( LM=ML,\ LR=RL,\ MR=RM \)

Non continueremo ad approfondire tale gruppo; facciamo solo notare che definire delle azioni con certe proprietà geometriche sul cubo sia utile alla risoluzione. Il problema del cubo di rubik è poter partire da un cubo disordinato e riuscire tornare al cubo ordinato, ovviamente se conoscessimo la sequenza che ha disordinato il cubo applicando dall'ultima alla prima le mosse al contrario si riesce a ottenere il cubo ordinato. Comunque le tecniche risolutive più pratiche si basano sull'esistenza di certe sequenze (trasformazioni) con proprietà geometriche, ad esempio scambiare una certa coppia di colori senza modificare una buona parte del cubo.

Le biezioni $A\to B$ non fanno altro che dare un nome $b\in B$ per ogni elemento $a$ tramite la mappa $a\mapsto b$, ad esempio piuttosto che usare le quantità di pesci spada utilizziamo l'insieme dei numeri $\mathbb{N}$ che "cattura l'essenza delle quantità". In modo analogo la descrizione di un gruppo diviene più chiara non appena si traducono i suoi elementi in altri elementi di un insieme $B$ (magari dotato di maggiore struttura o motivazioni geometriche su cui lavorare), un caso comune di applicazione degli isomorfismi è la rappresentazione dei gruppi tramite le parole definite su un certo alfabeto $\mathcal{A}$ dotate di certe relazioni come ad esempio per il gruppo di azioni sul cubo di Rubik.

Se la biezione cambia i simboli/gli elementi allora per rimanere coerenti con l'operazione sul gruppo è necessario richiedere una certa distributività, ad esempio se prendiamo le lettere $M$, $N$ e la parola $MN$ se vi associamo delle trasformazioni (le traduciamo in altri termini) serve richiedere che $MN$ è trasformata nel prodotto delle trasformazioni così che applicare le operazioni (sperabilmente è pià semplice) dentro il codominio coincida col farlo dentro il dominio (struttura probabilmente più complessa nel suo significato). Definiamo allora un isomorfismo $\phi:G_1\to G_2$ una funzione (biezione) che soddisfi

\( \phi(ab)=\phi(a)\phi(b) \)

In matematica vi sono tantissime strutture e quindi anche biezioni che siano coerenti con le strutture stesse, solitamente serve richiedere esplicitamente che anche tornando indietro nelle trascrizioni si mantenga la struttura.

Anche $\phi^{-1}:G_2\to G_1$ è isomorfismo, infatti $\phi(\phi^{-1}(a)\phi^{-1}(b))=\phi\phi^{-1}(a)\phi\phi^{-1}(b)=ab$ mostrando $\phi(\phi^{-1}(a)\phi^{-1}(b))=ab$ e ritrasformando con $\phi^{-1}$ ($\phi$ si cancella a sinistra) si ottiene

\( \phi^{-1}(a)\phi^{-1}(b)=\phi^{-1}(ab) \)

Dunque anche $\phi^{-1}$ è coerente con l'operazione. Parleremo di omomorfismo se si tratta una funzione tra gruppi che sia coerente con l'operazione, ed in particolare di monomorfismo quando questa è iniettiva.

Se $\phi:G\to O$ è un monomorfismo, quindi iniettivo, se piuttosto di $O$ come codominio scegliessimo l'immagine della funzione: $\phi(G)$ si ottiene una mappa suriettiva ed in particolare un isomorfismo

\( \phi:G\to\phi(G) \)

In particolare un monomorfismo fa pensare a $G$ che vive dentro $O$ come "sottogruppo", un sottoinsieme che sia gruppo con operazione ereditata da $O$ (valutata solo su coppie di elementi in $G$ e che restituisca ancora elementi di $G$). Introduco ciò perché esiste un teorema carino che prende ogni gruppo con un numero finito di elementi e lo rende sottogruppo del gruppo di "permutazioni". Abbiamo detto che una permutazione su un insieme $A$ è uno scambio dei suoi elementi, oppure una biezione di $A$ in se stesso. Prese due permutazioni eseguendole una dopo l'altra si ottiene una funzione composta che sia ancora una permutazione. Ogni permutazione per definizione ha un'inversa che composta restituisce l'identità sull'insieme stesso (che rappresenta proprio l'identità per la composizione), sinteticamente si ottiene una struttura di gruppo.